Rút gọn biểu thức Q. Tìm GTLN của biểu thức Q

Để rút gọn biểu thức \( Q \), ta bắt đầu từ biểu thức ban đầu:

\[
Q = \left( \frac{1}{2\sqrt{a-a}} + \frac{1}{2-\sqrt{a}} \right) \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{a + 2} \right)
\]

### a) Rút gọn biểu thức \( Q \)

1. **Xét từng phần của biểu thức**:

- Phần thứ nhất: \( \frac{1}{2\sqrt{a-a}} \) không xác định (vì mẫu bằng 0), ta không thể rút gọn phần này. Do đó, cần phải xem xét cách đổi biểu thức để tìm ra giới hạn khác nhau của biểu thức.

2. **Phần thứ hai**:
- \( \frac{1}{2 - \sqrt{a}} \)

Ta cần điều kiện \( a < 4 \) để \( 2 - \sqrt{a} \neq 0 \).

### b) Tìm GTLN của biểu thức \( Q \)

- Để tìm giá trị lớn nhất của \( Q \), ta sẽ hy vọng rằng mẫu số không trở thành 0.

1. **Xem xét các giới hạn**:
- Thay thế \( a = 1 \), \( a = 2 \), v.v. sẽ giúp hiểu rõ hơn giá trị của \( Q \) trong miền cho phép.

2. **Lấy đạo hàm**:
- Đạo hàm của biểu thức với biến \( a \) và áp dụng các điều kiện \( a > 0 \) và \( a < 4 \) để tìm các điểm cực trị.

3. **So sánh các giá trị**: Sau khi tìm ra các điểm cực trị, so sánh giá trị của \( Q \) tại các điểm đó và các đầu biên \( a \to 0 \) và \( a \to 4 \).

### Kết luận

Để làm rõ hơn, bạn cần thực hiện từng bước tính toán cụ thể từ biểu thức ban đầu, kiểm tra điều kiện và dùng đạo hàm để tìm cực trị. Tuy nhiên, quá trình toán học chi tiết có thể dài và phức tạp, vì vậy hãy kiểm tra từng bước cụ thể để có được câu trả lời chính xác hơn về giá trị cực đại của \( Q \).