Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh AMCN là hình bình hành

1. **Định nghĩa Tứ giác**: Tứ giác AMCN có các điểm M và N là trung điểm của AB và CD, nghĩa là:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]

2. **Sử dụng tính chất của đường chéo**: Ta có các đoạn AN và CM cắt BD tại E và F. Ta cần chứng minh rằng:
\[
AE = EF \quad \text{và} \quad CM = MF
\]

3. **Hai đoạn đối diện**: Vì M và N là trung điểm, ta có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]
Do đó, tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó AMCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh F là trung điểm

1. **Phân tích đoạn thẳng**: Do F nằm trên đường thẳng BD, và EF tạo với AB một đoạn thẳng song song, tương tự vớ AN:
\[
BF = FE = ED
\]

2. **Sử dụng tính chất đoạn thẳng**: Có đoạn thẳng AE song song với MF, nên AE cũng sẽ bằng với MF.

3. **Kết luận**: Từ các lập luận trên, ta chứng minh được tứ giác AMCN là hình bình hành, và điểm F chia đoạn AB thành hai đoạn bằng nhau, do đó F là trung điểm của AB.

Như vậy, tứ giác AMCN là hình bình hành và F là trung điểm của đoạn thẳng AB.