Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần theo yêu cầu.

1. **Chứng minh OI song song với BC:**

Để chứng minh OI song song với BC, ta có thể sử dụng định lý về góc.

- Đặt O là tâm của đường tròn (O) và I là trung điểm của đoạn thẳng AC.
- Hai đoạn thẳng COD (D là điểm tiếp tuyến tại C) vuông góc với tia OD và tia OC.
- Ta có góc OCB và góc OID nằm ở hai bên đường thẳng OC.
- Do đó, nếu ta chứng minh rằng góc OID = góc OCB thì từ đó suy ra OI // BC.

Theo định lý tiếp tuyến, với C là điểm tiếp tuyến của đường tròn, ta có góc OCB = góc ICN. Mà I là trung điểm của AC nên góc OID = góc ACN, suy ra OI // BC.

2. **Chứng minh DA là tiếp tuyến (O):**

Theo định nghĩa, đường thẳng DA là tiếp tuyến tại điểm C nếu góc OCA = 90°.

- Do D là điểm trên tia OI và angle OCA là góc giữa đường nối từ O đến C và đường tiếp tuyến tại C.
- Chúng ta đã cộng với việc C là điểm thuộc (O), ta tìm thấy rằng angle OCA = 90°, tức là DA vuông góc với OC.
- Như vậy, DA là tiếp tuyến rơi ra từ C của đường tròn.

3. **Chứng minh \( 2CK = HA \cdot HB \):**

- Vẽ CH ⊥ AB và H ∈ AB.
- Vẽ BK ⊥ CD và K ∈ CD.
- Ta có tứ giác CBKD, với CK là đường cao từ C xuống đáy ABvà BD là đường cao từ B xuống CD.
- Gọi I là giao điểm của BH và CK.

Từ đó ta có:

\[
CH \cdot HA = CK \cdot HB
\]

Khi đó, từ tỉ lệ hình học, ta có thể rút ra \( 2CK = HA \cdot HB \). Vì CK là chiều cao của tam giác rồi dung độ với HA và HB, từ đó ta suy ra được mối quan hệ giữa CK, HA và HB.

---

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán là OI song song với BC, DA là tiếp tuyến của đường tròn (O), và cuối cùng là mối quan hệ giữa các đoạn thẳng về tỉ lệ.