Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo các yêu cầu đã cho.

### 1) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

Ta có H là giao điểm của hai tiếp tuyến AB và AC tại A với đường tròn (O;R). Vì AB và AC là hai tiếp tuyến, nên ta có thể sử dụng tính chất của các tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn:

- Gọi B, C là các điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O;R).
- Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: \( OA \perp AB \) và \( OA \perp AC \).

Do đó, \( OA \) vuông góc với cả hai tiếp tuyến tại A.

Xét tứ giác OABH (với H là giao điểm của AB và AC). Ta có \( OB \) và \( OC \) đều đi từ O đến B và C trên đường tròn (O;R).

Vì OA vuông góc với AB và AC, do đó \( \angle OAH \) và \( \angle OAB \) đều là góc vuông, dẫn đến OA vuông góc với BC tại H.

### 2) Vẽ đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt cạnh AC tại E. Chứng minh Δ OAE là tam giác cân.

Gọi đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại E.

Ta sẽ chứng minh:

- Xét Δ OAE, ta có:
- OA là tia đến từ O đến A.
- OE là vuông góc với OB, tức là OE đứng vuông góc với OB.

Vì vậy, từ O tới E, ta có:

- \( OA = OE \) (do OA và OB là hai tiếp tuyến đồng thời ÔA và OE đều có độ dài bằng nhau do tính chất tiếp tuyến (tiếp điểm bằng nhau)).

Vậy, ta kết luận rằng Δ OAE là tam giác cân với OA = OE.

### 3) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q, vẽ hai tiếp tuyến QM, QN đến (O) (M,N là điểm tiếp xúc). Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

Gọi QM và QN là hai tiếp tuyến từ điểm Q đến đường tròn (O), và M, N là các điểm tiếp xúc.

Vì M và N là tiếp điểm tiếp tuyến, và vì thiết lập theo định lý tiếp tuyến từ một điểm ngoài, ta có:

- \( QA = QM = QN \) (do tính chất của tiếp tuyến từ cùng một điểm đến đường tròn là bằng nhau).

Thêm vào đó, do các tiếp tuyến QM và QN cắt nhau tại điểm Q và vuông góc với đường nối từ O đến M, O đến N, ta có:

- \( \angle MQA = \angle NQA = 90^\circ \).

Từ đó ta có thể thấy rằng A nằm trên đường thẳng MN. Điều này chứng tỏ rằng A, M, N nằm thẳng hàng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần theo yêu cầu của bài toán.