Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

Theo giả thiết đã cho:
- \( \angle C_1 = 80^\circ \)
- \( \angle D_1 = 80^\circ \)
- \( \angle B_1 = 65^\circ \)

Trong một tứ giác, tổng các góc nội tiếp bằng \( 360^\circ \).

Ta có:
\[
\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 + \angle D_1 = 360^\circ
\]

Đặt \( \angle A_1 \) là góc ở đỉnh \( A \):
\[
\angle A_1 + 65^\circ + 80^\circ + 80^\circ = 360^\circ
\]
\[
\angle A_1 + 225^\circ = 360^\circ
\]
\[
\angle A_1 = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ
\]

Ta thấy rằng:
- \( \angle A_1 = 135^\circ \)

Theo định lý về các góc đồng vị (các góc cùng phía), ta có:
\[
\angle C_1 + \angle A_1 = 180^\circ
\]

Do đó, \( a \parallel b \) vì \( \angle C_1 + \angle A_1 = 80^\circ + 135^\circ = 215^\circ \), không phản bác điều gì, do \( a \) và \( b \) không cắt nhau.

### b) Tính số đo góc \( B_2; A_1 \) và \( A_2 \)

- **Góc \( B_2 \)** là góc ở vị trí đối diện với góc \( B_1 \):
Góc đối diện \( B_1 \) cũng là \( 65^\circ \).

- **Góc \( A_2 \)** bằng:
\[
\angle A_2 + \angle A_1 = 180^\circ
\]
\[
\angle A_2 = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
\]

**Kết quả**:
- \( B_2 = 65^\circ \)
- \( A_1 = 135^\circ \)
- \( A_2 = 45^\circ \)