Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC, vẽ điểm E sao cho I là trung điểm của EM. Chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng tứ giác AMCE là hình chữ nhật, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và định nghĩa về điểm giữa.

### Bước 1: Xác định các điểm

- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác \( ABC \) (với \( AB = AC \)).
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn \( AC \).
- Gọi \( E \) là điểm sao cho \( I \) là trung điểm của đoạn \( EM \).

### Bước 2: Xác định các tọa độ

Giả sử tam giác \( ABC \) nằm trong mặt phẳng với các tọa độ sau:
- \( A(0, h) \)
- \( B(-b, 0) \)
- \( C(b, 0) \)

Từ đó, ta có:
- Tọa độ điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \):
\[
M\left(\frac{-b + b}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (0, 0)
\]

- Tọa độ điểm \( I \) là trung điểm của đoạn \( AC \):
\[
I\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

### Bước 3: Tính tọa độ điểm E

Vì \( I \) là trung điểm của \( EM \), ta có thể xác định tọa độ điểm \( E \) theo cách sau. Giả sử điểm \( E = (x, y) \), thì:
\[
I = \left(\frac{x + 0}{2}, \frac{y + 0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)
\]
Do đó, ta có:
\[
\frac{b}{2} = \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad x = b
\]
\[
\frac{h}{2} = \frac{y}{2} \quad \Rightarrow \quad y = h
\]
Vậy tọa độ điểm \( E \) là \( E(b, h) \).

### Bước 4: Xét các cạnh của tứ giác AMCE

Bây giờ, ta có các điểm:
- \( A(0, h) \)
- \( M(0, 0) \)
- \( C(b, 0) \)
- \( E(b, h) \)

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra xem tứ giác AMCE có phải là hình chữ nhật hay không bằng kiểm tra xem \( AC \) và \( ME \) có vuông góc với nhau hay không.

### Bước 5: Kiểm tra độ dài và góc

- Đoạn \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]

- Đoạn \( ME \):
\[
ME = \sqrt{(b - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]

### Bước 6: Xét góc

Để kiểm tra xem \( AM \) vuông góc với \( AE \):
- Độ dốc của \( AM \) tính từ tọa độ:
\[
\text{Độ dốc } AM = \frac{h - 0}{0 - 0} = \text{không xác định (dốc thẳng đứng)}
\]

- Độ dốc của \( AE \):
\[
\text{Độ dốc } AE = \frac{h - h}{b - 0} = 0 \quad \text{(dốc ngang)}
\]
=> Do đó \( AM \) vuông góc với \( AE \), và \( AC \) vuông góc với \( ME \).

### Kết luận

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác AMCE là hình chữ nhật khi có tất cả các điều kiện cần thiết và đủ của hình chữ nhật được thoả mãn.