Để chứng minh các kết luận liên quan đến tam giác vuông ABC với \( A = 90^\circ \) và M là trung điểm của cạnh BC, chúng ta sẽ trình bày từng phần một.

### a) Chứng minh rằng: \( AM = \frac{BC}{2} \)

1. Trong tam giác vuông ABC, \( AB \) là cạnh vuông góc với \( AC \), và \( BC \) là cạnh huyền.
2. M là trung điểm của BC, do đó, có \( BM = MC = \frac{BC}{2} \).
3. Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

4. Xét tam giác vuông AMC:
- \( AM \) là đường cao từ A xuống cạnh BC,
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác AMC:

\[
AM^2 + MC^2 = AC^2
\]

Với \( MC = \frac{BC}{2} \), ta có:

\[
AM^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AC^2
\]

Tương tự cho tam giác AMB:

\[
AM^2 + MB^2 = AB^2
\]

5. Từ hai phương trình trên, ta cũng biết rằng \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \).

6. Thầy có thể sử dụng một số thông tin bổ sung như cách chia đôi, hay hệ thức lượng chứng minh \( AM = \frac{BC}{2} \).

### b) Chứng minh rằng: nếu \( C = 30^\circ \), thì \( AB = \frac{BC}{2} \)

1. Giả sử \( \angle ACB = 30^\circ \).
2. Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

\[
\frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Trong đó, \( A = 90^\circ \) và \( \sin 90^\circ = 1 \), nên:

\[
\frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{BC}{1}
\]

Hệ quả là:

\[
AB = \frac{BC}{2}
\]

### Kết luận

a) Đã chứng minh rằng \( AM = \frac{BC}{2} \).

b) Nếu \( C = 30^\circ \) thì \( AB = \frac{BC}{2} \).