Để giải phương trình \(4x^2 - 1 + x(2x + 1) = 0\), trước tiên chúng ta sẽ đơn giản hóa nó:

Bắt đầu với biểu thức \(x(2x + 1)\):
\[
x(2x + 1) = 2x^2 + x
\]

Thay vào phương trình ban đầu:
\[
4x^2 - 1 + 2x^2 + x = 0
\]

Kết hợp các hạng tử tương tự:
\[
(4x^2 + 2x^2) + x - 1 = 0
\]
\[
6x^2 + x - 1 = 0
\]

Bây giờ chúng ta có được một phương trình bậc hai. Áp dụng công thức điều kiện phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
a = 6, \quad b = 1, \quad c = -1
\]

Tính discriminant \(D\):
\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25
\]

Vì \(D > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 5}{12}
\]

Tính toán hai nghiệm:
1. \(x_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
2. \(x_2 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x = -\frac{1}{2}
\]