Để chứng minh rằng tứ giác \( BFMD, CDME, AEMF \) là các hình thang cân trong tam giác đều \( ABC \) với điểm \( M \) nằm trong tam giác.

**a) Chứng minh tứ giác là hình thang cân:**

1. **Tứ giác \( BFMD \)**:
- Đường thẳng \( MD \) song song với \( AC \) => góc \( BMD = BMA \) (góc đối đỉnh).
- Vì \( AC || MD \) nên \( \angle BMD = \angle BAF \).
- Tương tự, vì \( AC || MD \) nên \( \angle BFD = \angle BFM \).
- Kết luận rằng tứ giác \( BFMD \) là hình thang cân với cạnh \( BD \) đối diện hai cạnh \( MF \) và \( MB \).

2. **Tứ giác \( CDME \)**:
- Tương tự, từ đường thẳng \( ME \) song song với \( AB \), ta có \( CD \) và \( EM \) là hai cạnh đối diện nhau.
- Vậy tứ giác \( CDME \) cũng là hình thang cân.

3. **Tứ giác \( AEMF \)**:
- Đường thẳng \( MF \) song song với \( BC \) -> tứ giác \( AEMF \) cũng hội tụ các góc tương đương, chứng minh đây cũng là hình thang cân.

**b) Tính số đo \( \angle DME, EMF \)**:

- Từ tính chất của tam giác đều, số đo của mỗi góc trong tam giác \( ABC \) là \( 60^\circ \).
- Áp dụng góc từng phần:
- \( \angle DME = \angle BMF + \angle BME = 60^\circ \).
- Tương tự, \( \angle EMF = 60^\circ \).

Kết luận, số đo \( DME, EMF \) đều bằng 60°.

Đã hoàn thành việc chứng minh và tính toán.