Cho △ABC các tại A, trung tuyến AM. Triển tia BC lấy điểm D, trên tia DE lấy điểm E sao cho BD = CE

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước cụ thể như sau:

a) **Chứng minh △ADE cân tại A:**

1. Do \( BD = CE \), từ đó ta có \( AB = AC \) (do tính chất của các điểm trên cạnh của tam giác cân).
2. Sử dụng định nghĩa góc tại đỉnh, ta cần chứng minh \( AD = AE \).

\[
AD^2 = AB^2 + BD^2 \quad (1)
\]
\[
AE^2 = AC^2 + CE^2 \quad (2)
\]

3. Nhận thấy \( AD = AE \) từ (1) và (2) do \( BD = CE \), suy ra \( △ADE \) là tam giác cân tại A.

b) **Chứng minh AM là phân giác của DAE:**

1. Bởi vì trên đường trung tuyến AM, có \( AB = AC \).
2. Do đó, góc \( BAM = CAM \), suy ra \( AM \) là phân giác của góc DAE.

c) **Chứng minh DBH = ECK:**

1. Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc từ B đến AD và từ C đến AE.
2. Ta có \( BH \perp AD \) và \( CK \perp AE \).

d) **Chứng minh đường thẳng HB, CK và AM đồng quy:**

1. Gọi N là giao điểm của HB và CK.
2. Ta chứng minh rằng \( N \) nằm trên \( AM \):
- Vì \( AM \) là phân giác của góc DAE và \( DBH = ECK \), nên các đường vuông góc này cắt nhau tại điểm N.

Đến đây, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.