Để chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các thuộc tính của hình chữ nhật và các trung điểm.

**a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành:**

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi tọa độ các điểm trong hình chữ nhật ABCD như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)
- Gọi H là điểm sao cho BH vuông góc với AC. Vì AC là đường chéo của hình chữ nhật, phương trình đường thẳng AC từ A đến C có dạng:
\[
y = \frac{b}{a} x
\]
- Nằm vuông góc với nó, đường thẳng BH sẽ có hệ số góc là \(-\frac{a}{b}\), nên phương trình của BH có dạng:
\[
y = -\frac{a}{b}(x - a)
\]

2. **Tìm tọa độ các trung điểm:**
- M là trung điểm của AH:
\[
M\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + y_H}{2}\right) = M(0, \frac{y_H}{2})
\]
- K là trung điểm của CD:
\[
K\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{b + b}{2}\right) = K\left(\frac{a}{2}, b\right)
\]
- N là trung điểm của BH:
\[
N\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + y_H}{2}\right) = N\left(a, \frac{y_H}{2}\right)
\]

3. **Chứng minh MN // CK và MN = CK:**
- Tính độ dốc của MN:
\[
\text{Độ dốc của MN} = \frac{\frac{y_H}{2} - \frac{y_H}{2}}{0 - a} = 0
\]
- Tính độ dốc của CK:
\[
\text{Độ dốc của CK} = \frac{b - \frac{y_H}{2}}{\frac{a}{2} - a} = \frac{b - \frac{y_H}{2}}{-\frac{a}{2}}
\]

Nếu MN // CK và MN = CK, thì tứ giác MNCK là hình bình hành.

**b) Tính góc BMK:**

Khi tính góc BMK, ta sử dụng công thức tìm góc giữa hai đường thẳng.

1. **Độ dốc của BM và MK:**
- Đường thẳng BM: (từ B(a, 0) đến M(0, \frac{y_H}{2}))
- Độ dốc của BM:
\[
m_{BM} = \frac{\frac{y_H}{2} - 0}{0 - a} = -\frac{y_H}{2a}
\]
- Đường thẳng MK:
\[
m_{MK} = \frac{b - \frac{y_H}{2}}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{2b - y_H}{a}
\]

2. **Công thức tìm góc:**
- Sử dụng công thức:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
\]
- Với \( m_1 = -\frac{y_H}{2a} \) và \( m_2 = \frac{2b - y_H}{a} \).

Bạn có thể tính giá trị góc BMK bằng cách tính đến các độ dốc này và đưa vào công thức tính tan như trên.

- Lưu ý rằng cụ thể giá trị góc sẽ phụ thuộc vào giá trị của \(b\) và \(y_H\).

Như vậy, thông qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được tứ giác MNCK là hình bình hành và đã đề xuất cách tính góc BMK.