Cho góc nhọn a . Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào góc a

Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( C \) không phụ thuộc vào góc \( a \), ta sẽ làm các phép biến đổi đại số cho biểu thức đã cho:

\[
C = \frac{\tan^2 a - \cos^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cot^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Ta sẽ thay thế các hàm lượng giác bằng các biểu thức liên quan đến sin và cos:

1. **Biểu thức \(\tan^2 a\) và \(\cot^2 a\)**:
\[
\tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \quad \text{và} \quad \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}
\]

2. **Thay vào biểu thức**:
\[
C = \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} - \cos^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

3. **Rút gọn từng phần**:
\[
C = \frac{\sin^2 a - \cos^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a} + \frac{\cos^2 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]
\[
= \frac{\sin^2 a - \cos^4 a + \cos^2 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

4. **Sử dụng công thức \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)**:
\[
= \frac{(\sin^2 a + \cos^2 a) - (\sin^4 a + \cos^4 a)}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]
\[
= \frac{1 - (\sin^4 a + \cos^4 a)}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

5. **Rút gọn \( \sin^4 a + \cos^4 a \)**:
\[
\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a
\]
\[
\Rightarrow C = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 a \cos^2 a)}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]
\[
= \frac{2\sin^2 a \cos^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a} = 2
\]

Vậy ta nhận thấy \( C = 2 \) không phụ thuộc vào góc \( a \).

**Kết luận**: Biểu thức \( C \) là hằng số và giá trị của nó là 2, không phụ thuộc vào góc nhọn \( a \).