Với mỗi tập con của T của tập U = {1,2,3,…,18}; đặt S(T) là tổng các phần tử của T. Biết rằng xác suất chọn được tập T sao cho S(T) chia hết cho 3 là \(\frac{m}{n}\) với m,n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tính tổng m + n: ....

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm xác suất chọn tập con \( T \) từ tập \( U = \{1, 2, \ldots, 18\} \) sao cho tổng \( S(T) \) chia hết cho 3.

### Bước 1: Tính tổng các phần tử trong \( U \)

Tổng \( S(U) \) của các phần tử trong tập \( U \) được tính như sau:

\[
S(U) = 1 + 2 + \ldots + 18 = \frac{18 \cdot 19}{2} = 171
\]

### Bước 2: Phân loại phần tử theo số dư khi chia cho 3

Chúng ta cần phân loại các số trong \( U \) theo số dư khi chia cho 3:
- Số có số dư 0: \( 3, 6, 9, 12, 15, 18 \) (6 số)
- Số có số dư 1: \( 1, 4, 7, 10, 13, 16 \) (6 số)
- Số có số dư 2: \( 2, 5, 8, 11, 14, 17 \) (6 số)

### Bước 3: Tính cách chọn tập con
Mỗi phần tử có 2 tùy chọn: chọn hoặc không chọn. Do đó, tổng số tập con có thể được tạo ra từ tập \( U \) là:

\[
N = 2^{18}
\]

### Bước 4: Xác suất tổng chia hết cho 3

Chúng ta có thể dùng định lý mọi khả năng với số dư:

- Số tập con có tổng \( S(T) \equiv 0 \mod 3 \) là một phần ba của tổng số tập con vì tổng số tập con chia đều cho các số dư 0, 1, 2:
\[
N_0 = \frac{N}{3} = \frac{2^{18}}{3}
\]

### Bước 5: Tính xác suất

Tổng số tập con thỏa mãn điều kiện là \( N_0 \). Xác suất để chọn một tập con sao cho \( S(T) \equiv 0 \mod 3 \) là:

\[
P = \frac{N_0}{N} = \frac{\frac{2^{18}}{3}}{2^{18}} = \frac{1}{3}
\]

### Bước 6: Tìm \( m \) và \( n \)

Chúng ta có:

\[
P = \frac{1}{3} = \frac{m}{n}
\]

Trong đó \( m = 1 \) và \( n = 3 \). Hai số này là số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận

Tính tổng \( m + n \):

\[
m + n = 1 + 3 = 4
\]

Vậy kết quả là:

\[
\boxed{4}
\]