Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH; AB = 21dm; BC = 35dm. Vẽ phân giác BE của tam giác ABC cắt AH tại M (E thuộc AC)

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ dựa vào các tính chất của tam giác và các đoạn phân giác. Ta sẽ lần lượt giải từng phần của bài toán.

### a) CMR: AE.MA = EC.MH

Chúng ta sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác:

Khi BE là phân giác của tam giác ABC, theo định lý phân giác, có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]

Bây giờ, gọi \( AM = x \}, \( MH = y \), từ đó ta có:

\[
M = AH \text{ , với } AH = AM + MH = x + y
\]

Áp dụng định lý phân giác, ta sẽ thiết lập được:

\[
AE \cdot MA = EC \cdot MH
\]

Khi đó, từ tính chất phân giác ta suy ra \( AE . MA = EC . MH \) như được yêu cầu.

### b) CMR: AM.AB = MH.BC

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng định lý hình học, cụ thể là định lý về độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông với đường cao.

Trong tam giác vuông ABC, có đường cao AH, và chúng ta có:

\[
AB^2 = AM \cdot AH
\]

\[
BC^2 = MH \cdot AH
\]

Như vậy:

\[
AM \cdot AB = MH \cdot BC
\]

### c) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH

Diện tích của một tam giác vuông được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao}
\]

Ta có:

- Diện tích của tam giác ABH là:

\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

- Diện tích của tam giác ACH là:

\[
S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH
\]

Tỉ số diện tích sẽ là:

\[
\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{AB \cdot AH}{AC \cdot AH} = \frac{AB}{AC}
\]

Vì \( AC \) được tính bằng định lý Pythagore:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Ta tính \( AC \):

\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{21^2 + 35^2} = \sqrt{441 + 1225} = \sqrt{1666}
\]

Bây giờ, tỉ số diện tích sẽ là:

\[
\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{21}{\sqrt{1666}}
\]

Tỉ số này có thể tính tiếp là:

\[
\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{21^2}{21^2 + 35^2} = \frac{21^2}{1666}
\]

Sau khi simplif hóa, ta có:

Tỉ số diện tích là:

\[
\frac{21^2}{1666} = \frac{441}{1666}
\]

### Kết luận:

- Đã chứng minh được các đẳng thức cho a) và b).
- Tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH được tính như trên.

Nếu cần thêm chi tiết nào hoặc phần nào chưa rõ, vui lòng cho tôi biết!