Để chứng minh rằng \( a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2 \), chúng ta sẽ biến đổi vế trái và vế phải để so sánh chúng.

### Bước 1: Tính vế trái
Vế trái là:
\[
a(a+1)(a+2)(a+3) + 1
\]

Đầu tiên, ta sẽ tính giá trị của \( a(a+1)(a+2)(a+3) \):
\[
a(a+1)(a+2)(a+3) = a \cdot (a^2 + 3a + 2) \cdot (a + 3)
\]

Giờ ta sẽ tính \( (a^2 + 3a + 2)(a + 3) \):
\[
(a^2 + 3a + 2)(a + 3) = a^3 + 3a^2 + 2a + 3a^2 + 9a + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6
\]

Như vậy,
\[
a(a+1)(a+2)(a+3) = a(a^3 + 6a^2 + 11a + 6) = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a
\]

Tiếp theo, cộng thêm 1 vào:
\[
a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1
\]

### Bước 2: Tính vế phải
Vế phải là:
\[
(a^2 + 3a + 1)^2
\]

Ta sẽ bình phương biểu thức này:
\[
(a^2 + 3a + 1)^2 = (a^2 + 3a + 1)(a^2 + 3a + 1)
\]

Áp dụng quy tắc nhân hai đa thức:
\[
= a^4 + 3a^3 + a^2 + 3a^3 + 9a^2 + 3a + a^2 + 3a + 1
\]
\[
= a^4 + 6a^3 + (1 + 9 + 1)a^2 + (3 + 3)a + 1
\]
\[
= a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1
\]

### Kết luận
Cả hai vế trái và vế phải đều bằng:
\[
a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được:
\[
a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2
\]
Chứng minh hoàn tất!