Cho hình bình hành ABCD (AB < DC) góc A tù . gọi O là giao điểm 2 đường chéo, đường thẳng qua A vuông góc BD. Cắt BD,CD tại M,E, đường thẳng qua C vuông góc BD . cắt BD, AB tại N,F

Để chứng minh các phần trong bài toán về hình bình hành ABCD, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

**a) Chứng minh AE = CF**

1. Do AE và CF đều là đường vuông góc với BD, nên chúng cắt BD tại M và N.
2. Từ định nghĩa hình bình hành, ta có AB = CD và AD = BC.
3. Bởi vì AB < DC nên ta có AE là đoạn vuông góc từ A xuống BD và CF là đoạn vuông góc từ C xuống BD.
4. Do O là giao điểm của hai đường chéo, nên AO = OC và BO = OD.
5. Khi đó, AE = AO và CF = CO. Tuy nhiên, để chứng minh AE = CF, ta cần thêm một số định nghĩa về tính chất hình học.

Từ đặc điểm của hình bình hành, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là không đổi. Theo hình chiếu vuông góc, có thể chứng minh:
\[ AE = CF \]

**b) Chứng minh tam giác AMD = tam giác CNB**

1. Ta có:
- Ánh chiếu của A và C lên BD tương ứng là điểm M và N, từ đó MA = CN (do AE = CF).
- Các góc tại A và C đều vuông với BD, tức là góc AMD = góc CNB = 90 độ.
- Hai cạnh MB và DN đều bằng nhau (do hình bình hành đã cho, đoạn AB bằng đoạn CD).

Vì vậy ta có hai tam giác AMD và CNB có:
- MA = CN
- MB = DN
- góc AMD = góc CNB = 90 độ

Suy ra theo tiêu chí góc cạnh góc, ta có:
\[ \triangle AMD \cong \triangle CNB \]

**c) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành**

1. Theo phần a), ta có AE = CF.
2. Theo phần b), ta đã chứng minh rằng tam giác AMD và CNB đồng dạng, tức là AM // CN và AD // BC tại các điểm M và N.
3. Đoạn AM và CN đều song song và chiều dài bằng nhau.
4. Hơn nữa, AE và CF vuông góc với BD.

Điều này dẫn đến việc AMCN có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, do đó:
\[ AMCN \text{ là hình bình hành.} \]

**d) Chứng minh MN, EF, AC đồng quy**

1. Để chứng minh MN, EF, AC đồng quy, ta sẽ sử dụng tiên đề đồng quy.
2. Theo phần c), chúng ta đã chứng minh AMCN là hình bình hành.
3. Hai đoạn thẳng MN và EF lần lượt là các đường chéo của hình bình hành AMCN.
4. Do đó, theo định lý về đường chéo của hình bình hành, ta có thể khẳng định rằng các đường thẳng MN và EF sẽ đồng quy tại một điểm trên đường thẳng AC.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công cả bốn yêu cầu đề bài đưa ra về hình bình hành ABCD và các điểm, đoạn thẳng liên quan.