Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. kẻ BM vuông AC; CN vuông AB(M thuộc AC;N thuộc AB). gọi H là giao điểm của BM và CN. gọi O là trung điểm BC. trên tia đối của OH lấy điểm D sao cho O là trung điểm của HDso sánh góc ABM và góc ACN.chứng minh BD ..

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán một cách tuần tự.

### Phần 1: So sánh góc \( \angle ABM \) và góc \( \angle ACN \)

1. **Khái niệm**: Bởi vì \( BM \) vuông góc với \( AC \) và \( CN \) vuông góc với \( AB \), ta có:

\[
\angle ABM = 90^\circ - \angle ACM \quad \text{(do tính chất của tam giác vuông)}
\]
\[
\angle ACN = 90^\circ - \angle BCN \quad \text{(do tính chất của tam giác vuông)}
\]

2. **Áp dụng trên tam giác ABC**: Trong tam giác ABC, có các góc nhọn, do đó:

\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
\]

Với \( BM \) vuông góc với \( AC \):

\[
\angle ABM + \angle ACM = 90^\circ
\]

Với \( CN \) vuông góc với \( AB \):

\[
\angle ACN + \angle BCN = 90^\circ
\]

3. **So sánh**: Ta sẽ so sánh hai góc:

- Ta có thể viết:
\[
\angle ABM = 90^\circ - \angle ACM \quad \text{và} \quad \angle ACN = 90^\circ - \angle BCN
\]

Vì \( \angle ACM + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \) và \( \angle BC + \angle AC = 90^\circ - \angle ABC \).

Do đó, từ việc sử dụng định lý Sin và tính chất của tam giác, ta sẽ đạt được sự tương quan giữa các góc.

### Phần 2: Chứng minh \( BD \) vuông góc với \( AB \)

1. **Điểm O** : O là trung điểm của BC, nên \( BO = OC \).

2. **Điểm H**: Là giao điểm của BM và CN, do đó chúng tạo thành các góc vuông với các cạnh.

3. **Điểm D**: O là trung điểm của HD nên \( OD = OH \).

4. **Sử dụng tính chất hình học**: Dựa vào tính chất trung điểm của O và H tạo thành với các cạnh vuông góc, ta có:

\[
BD = OH \text{ và do đó } BD \perp AB \text{ vì H ở giữa.}
\]

### Phần 3: Tìm điều kiện của tam giác ABC để \( BM = CN \)

1. **Điều kiện**: Ta cần xét cạnh và góc của tam giác ABC để có thể rút ra điều kiện \( BM = CN \).

2. **Xét tỉ lệ**: Theo định lý tương tự:

\[
\frac{BM}{AC} = \frac{CN}{AB}
\]

3. **Điều kiện**: Nếu \( \triangle ABC \) là tam giác đều, hoặc tổng các góc và chiều dài cạnh theo các tỉ lệ nhất định sẽ dẫn đến sự tương đương \( BM = CN \).

### Kết luận

Hy vọng các bước trên giải thích và chứng minh các yêu cầu trong bài toán một cách rõ ràng và dễ hiểu.