Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần.

### a) Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành.

1. **Gọi D là giao điểm của Bx và Cy.**
- Từ điểm B, kẻ đường vuông góc với cạnh AB tại điểm Bx.
- Từ điểm C, kẻ đường vuông góc với cạnh AC tại điểm Cy.

2. **Tính chất đường vuông góc:**
- Vì Bx vuông góc với AB và Cy vuông góc với AC, nên sẽ có các góc vuông tại Bx và Cy.

3. **Độ dài theo tính chất tam giác:**
- Do H là trọng tâm của tam giác ABC, các đoạn từ H đến các cạnh sẽ có độ dài bằng nhau (điểm H là điểm chéo của tam giác).

4. **Chứng minh các cạnh BD và CH bằng nhau:**
- Cạnh BD (từ B đến D) và cạnh CH (từ C đến H) sẽ bằng nhau do H là trọng tâm.

5. **Chứng minh các cạnh BH và CD cũng bằng nhau:**
- Bởi vì điểm H là trọng tâm, nên BH = CD.

6. **Kết luận:**
- Do đó, với 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, ta có BHCD là hình bình hành.

### b) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh H, O, D thẳng hàng.

1. **Điểm O là trung điểm của BC.**
- Do đó, O nằm trên đoạn thẳng BC và chia BC thành 2 đoạn bằng nhau.

2. **D thuộc đường thẳng Bx và Cy.**
- Vì D được tạo ra từ giao điểm của Bx và Cy, nên D cũng nằm trong mặt phẳng này.

3. **Tính chất đồng phương:**
- H là trọng tâm của tam giác ABC, mà trọng tâm chia đường từ các đỉnh đến các cạnh tỉ lệ 2:1.

4. **Chứng minh H, O, D thẳng hàng:**
- Các điểm H, O, D sẽ nằm trên cùng một đường thẳng nhờ vào tính chất đồng phương và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác.

5. **Kết luận:**
- Vậy H, O, D thẳng hàng.

Như vậy, ta đã hoàn thành chứng minh cho cả hai phần của bài toán.