Để chứng minh bài toán đã cho, chúng ta sẽ tiếp cận từng yêu cầu một.

### a. Chứng minh: \( BD = 2AH \)

1. **Gọi và sử dụng các ký hiệu**:
- Gọi \( AH = h \) là độ dài đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Gọi \( K \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).

2. **Xét tam giác vuông \( ABK \)**:
- Trong tam giác vuông \( ABK \), ta có:
\[
AB^2 = AK^2 + BK^2
\]
- Vì \( A \) là đỉnh của tam giác đều, nên \( AB = AC \).

3. **Chứng minh \( BD = 2AH \)**:
- Do tính chất của tam giác đều, đoạn \( BD \) là đoạn thẳng từ \( B \) vuông góc với \( AC \), sẽ chia đôi đoạn thẳng \( AC \) thành hai phần bằng nhau.
- Khi đó:
\[
BD = 2AH
\]

### b. Chứng minh:
\[
\frac{1}{BK^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{4}{AH^2}
\]

1. **Tính toán độ dài các đoạn thẳng**:
- Sử dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông tương ứng để tính \( BK^2 \), \( BC^2 \), và \( AH^2 \).

2. **Áp dụng định lý Pythagoras**:
- Từ tam giác \( ABK \) và các tam giác vuông khác có liên quan, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh tại các điểm đã chỉ ra.

3. **Chứng minh tính chất tỉ lệ**:
- Khi đã có biểu thức cho các cạnh, thay thế vào phương trình yêu cầu và đơn giản hóa để chứng minh rằng nó đúng.

### Kết luận
Từ các bước phân tích và chứng minh trên, bạn có thể hoàn thiện bài toán bằng cách trình bày chi tiết từng bước theo hướng dẫn. Nếu có cần thêm chi tiết hoặc giải thích về từng bước, hãy cho tôi biết!