Để giải bài toán, ta sẽ từng bước xử lý các yêu cầu cho biểu thức \( C \):

1. **Rút gọn biểu thức \( C \)**:
\[
C = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}}{x + 2\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{x + 1}{\sqrt{x}}
\]
Chúng ta có thể nhân và chia với liên hợp của tử số và rút gọn dần.

2. **Tính giá trị của \( C \) khi \( x = \frac{\sqrt{7}}{1 - \sqrt{7} + 1} \)**:
Thay giá trị \( x \) vào biểu thức đã rút gọn ở bước 1 và tính giá trị.

3. **Tìm \( x \) để \( C > 1 \)**:
Giải bất phương trình từ biểu thức \( C \) đã rút gọn.

4. **Tìm \( x \) nguyên để \( C \) nhận giá trị nguyên**:
Xét điều kiện và tìm các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn biểu thức \( C \).

### Bước cụ thể cho từng phần

**a)** Cần rút gọn \( C \).

**b)** Thay \( x \) vào và tính giá trị của \( C \).

**c)** Giải bất phương trình \( C > 1 \).

**d)** Kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) từ kết quả biểu thức.

Nếu cần, hãy cung cấp thêm thông tin hoặc yêu cầu cụ thể về từng phần để tôi có thể giúp bạn rõ ràng hơn!