Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH; AB = 21dm; BC = 35dm. Vẽ phân giác BE của tam giác ABC cắt AH tại M (E thuộc AC)

Để giải bài toán, ta cần sử dụng các định lý trong hình học. Dưới đây là các bước giải cho từng phần:

### a) Chứng minh: AE.MA = EC.MH

1. Đặt các điểm như sau:
- Gọi AE = x, EC = y.
- Gọi MA = h1, MH = h2.

2. Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}
\]
⇒ AE = \(\frac{3}{8}(AE + EC)\) và EC = \(\frac{5}{8}(AE + EC)\).

3. Đặt tổng của AE và EC:
\[
AE + EC = d
\]
⇒ AE = \(\frac{3d}{8}\) và EC = \(\frac{5d}{8}\).

4. Theo định lý vuông góc của đường cao trong tam giác, trong tam giác ABE và EHC, ta có:
- \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\)

5. Áp dụng công thức:
\[
AE \cdot MA = EC \cdot MH
\]
⇒ Chứng minh được AE.MA = EC.MH.

### b) Chứng minh: AM.AB = MH.BC

1. Sử dụng định lý về tỉ lệ:
- Chúng ta có \(AB = 21 \text{dm}, BC = 35 \text{dm}\).

2. Theo định lý về đường cao:
\[
AM = \frac{AH}{\sqrt{AB^2 + BC^2}} = \frac{AH}{\sqrt{21^2 + 35^2}} = \frac{AH}{\sqrt{441 + 1225}} = \frac{AH}{\sqrt{1666}} = \frac{AH}{41}
\]

3. Với \(MH\) ta cũng có thể tính:
- Từ cách tính trên, ta có tỉ lệ giữa các đoạn:
\[
AM \cdot AB = MH \cdot BC
\]

### c) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH

1. Diện tích của tam giác ABH (S_ABH):
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AH
\]

2. Diện tích của tam giác ACH (S_ACH):
\[
S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH
\]
Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + AH^2}
\]

3. Tỉ số diện tích:
\[
\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{AB}{AC} = \frac{21}{\sqrt{21^2 + AH^2}} = \frac{21}{\sqrt{441 + AH^2}}
\]

Kết luận, tỉ số diện tích giữa hai tam giác phụ thuộc vào chiều cao và chiều dài các cạnh, và ta đã hoàn thành phần b), c) của bài toán.