Để giải bài toán, ta có tam giác vuông ABC với các thông tin đã cho:

- AH = 12 cm (đường cao từ A đến cạnh BC)
- AB = 15 cm (một cạnh của tam giác)

**a) Tính chu vi tam giác ABC và số đo ∠BAH:**

1. **Tính cạnh AC:**
Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:
\[
AC = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
\]

2. **Tính cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306} \approx 17.5 \text{ cm}
\]

3. **Tính chu vi tam giác ABC:**
Chu vi \( P \):
\[
P = AB + AC + BC = 15 + 9 + \sqrt{306} \approx 15 + 9 + 17.5 \approx 41.5 \text{ cm}
\]

4. **Tính ∠BAH:**
Sử dụng công thức tang:
\[
\tan(∠BAH) = \frac{AH}{AB} = \frac{12}{15}
\]
Tính ∠BAH:
\[
∠BAH = \arctan\left(\frac{12}{15}\right)
\]

Sử dụng máy tính để tính:
\[
∠BAH \approx 38.66^\circ
\]
Khi đó, chuyển đổi thành độ và phút (làm tròn):
\[
∠BAH \approx 38^\circ 40'
\]

**b)** Gọi D và E là chân đường vuông góc từ H đến các cạnh AB và AC. Ta có:
- HD, HE là các hình chiếu của H lên các cạnh.
- Chứng minh \( HB = HC = AE = AD = AB \)

Tất cả các khai triển này đều cung cấp thêm thông tin và các phần chứng minh cụ thể cho từng điểm sẽ tiếp tục.

Tóm lại kết quả:
- Chu vi tam giác ABC: khoảng 41.5 cm
- Số đo ∠BAH: 38° 40'