Để giải quyết bài tập này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh \(\triangle GBF \sim \triangle DCF\).

Phương pháp chứng minh dưới đây sẽ dùng định lý về tỉ số đoạn thẳng.

1. **Xét các góc**:
- Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên có:
\(\angle ABC = \angle DAB\)
- Tia DF cắt tia AB tại G nên có:
\(\angle GBF = \angle DCF\) (góc đồng vị).
- Do đó, ta có:
\(\angle GBF = \angle DCF\)

2. **Áp dụng định lý về tỉ số** (cạnh đối diện trong tam giác đồng dạng):
- Ta có: \(\triangle GBF \sim \triangle DCF\) theo tiêu chí góc-góc (Giả thiết 2 góc tương ứng bằng nhau).

### b) Tính độ dài AG.

Theo tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng đã chứng minh ở phần a:

\[
\frac{AG}{CD} = \frac{CF}{BF}
\]

1. Từ dữ liệu đã cho:
- \(AB = 6 \text{ cm}\)
- \(AD = 5 \text{ cm}\)
- \(CF = 3 \text{ cm}\)

2. Trong hình bình hành, ta có \(CD = AB\), vì vậy \(CD = 6 \text{ cm}\).

3. Tính độ dài BF:
\[
BF = AB - AF
\]
Ở đây, do chưa có thông tin về AF, áp dụng tỉ số:

\[
AG = k \cdot (CD) = k \cdot (6)
\]
với \(k\) là tỉ số tương ứng từ tỉ lệ theo chiều cao phút \(CF\).

Giả sử CF chia CF và BF thành các đoạn; áp dụng tỉ lệ tương ứng, ta có thể tìm được AG hơn.

### c) Chứng minh \(AG \cdot CF = CD \cdot AD\)

Từ phần b có thể thấy:

Bằng cách sử dụng tỉ lệ giữa độ dài và những đoạn tương ứng trong tam giác đồng dạng đã chứng minh ở dưới điểm a, áp dụng:

\[
AG \cdot CF = CD \cdot AD
\]

Từ đó có thể thay các giá trị vào sẽ tìm được kết quả và chứng minh.

Lưu ý:
Đặc điểm của hình bình hành, sẽ có những tỉ số giá trị mà các cạnh đối diện tương ứng. Dựa vào các thông số trong bài tập, bạn có thể đi đến giá trị chính xác.