Để tính tỉ số \( \frac{d}{r} \) trong tam giác \( MNP \) với các điều kiện đã cho:

1. **Ký hiệu và thông tin**:
- \( MN = MP = a \)
- \( \angle NMP = 120^\circ \)
- \( d = NP \)
- \( O \) là tâm và \( r \) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MNP \).

2. **Tính cạnh \( NP \)**: Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( MNP \):
\[
NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(120^\circ)
\]
Thay vào:
\[
NP^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
NP^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2
\]
Do đó:
\[
NP = a\sqrt{3}
\]

3. **Tính bán kính \( r \)**: Sử dụng công thức \( r = \frac{abc}{4S} \), trong đó \( S \) là diện tích:
- Diện tích \( S \) của tam giác \( MNP \) có thể tính qua công thức:
\[
S = \frac{1}{2} MN \cdot MP \cdot \sin(\angle NMP) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(120^\circ)
\]
\[
S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

4. **Sử dụng bán kính**:
- Tính \( abc \), trong đó \( c = NP = a\sqrt{3} \):
\[
abc = a \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) = a^3 \sqrt{3}
\]
Như vậy:
\[
r = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{a^2} = a
\]

5. **Tính tỉ số \( \frac{d}{r} \)**:
- Với \( d = NP = a\sqrt{3} \) và \( r = a \):
\[
\frac{d}{r} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}
\]

Vậy, tỉ số \( \frac{d}{r} = \sqrt{3} \).