Để chứng minh rằng các điểm \(E, F, G, H, B, D\) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của hình thoi và định lý về các góc.

### 1. Tính chất của hình thoi
Trong một hình thoi, các cạnh đối song song và bằng nhau, và các góc đối cũng bằng nhau. Từ giả thiết, ta có \( \angle A = 60^\circ \). Vậy \( \angle C = 60^\circ \) (vì \(A\) và \(C\) đối nhau).

Do đó, ta có:
\[
\angle B = \angle D = 120^\circ
\]

### 2. Tính tọa độ của các điểm
Giả sử các điểm \(A, B, C, D\) có tọa độ như sau trong hệ trục tọa độ:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a + a\cos 60^\circ, a\sin 60^\circ) = (a + \frac{a}{2}, a\frac{\sqrt{3}}{2}) = \left(\frac{3a}{2}, a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(D\left(a\cos 60^\circ, a\sin 60^\circ\right) = \left(\frac{a}{2}, a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

### 3. Tìm tọa độ của các trung điểm
Các điểm trung điểm là:
- \(E\): Trung điểm của \(AB\)
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \(F\): Trung điểm của \(BC\)
\[
F\left(\frac{a + \frac{3a}{2}}{2}, \frac{0 + a\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{5a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)
\]
- \(G\): Trung điểm của \(CD\)
\[
G\left(\frac{\frac{3a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{a\frac{\sqrt{3}}{2} + a\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(a, a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
- \(H\): Trung điểm của \(DA\)
\[
H\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + a\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, a\frac{\sqrt{3}}{4}\right)
\]

### 4. Đẳng thức góc
Giờ, ta sẽ chứng minh rằng các điểm \(E, F, G, H, B, D\) cùng nằm trên 1 đường tròn. Điều này xảy ra khi các góc \(\angle EBD\) và \(\angle FGD\) đối diện nhau là bằng nhau (hoặc chéo nhau).

- Từ các tính toán trước đó, hãy xét góc:
\[
\angle EBD = 60^\circ \quad \text{và} \quad \angle FGD = 60^\circ.
\]

### 5. Kết luận
Vì các điểm \(E, F, G, H, B, D\) tạo nên các góc bằng nhau, theo định lý về góc nội tiếp, ta có thể khẳng định rằng các điểm này cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(E, F, G, H, B, D\) đồng quy trên một đường tròn.