Để tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp \( C = \{ k^2 + 1 \mid k \in \mathbb{Z}, |k| \leq 2 \} \), trước hết, ta cần xác định các giá trị của tập hợp \( C \).

1. Xét các giá trị của \( k \) trong khoảng \( -2 \) đến \( 2 \):
- Với \( k = -2 \): \( k^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- Với \( k = -1 \): \( k^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
- Với \( k = 0 \): \( k^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- Với \( k = 1 \): \( k^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
- Với \( k = 2 \): \( k^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)

2. Tập hợp \( C \) sẽ là:
\[
C = \{ 5, 2, 1 \}
\]

3. Bây giờ, ta tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp \( C \). Các tập hợp con của một tập hợp gồm \( n \) phần tử là \( 2^n \). Ở đây \( n = 3 \), vì vậy sẽ có \( 2^3 = 8 \) tập hợp con.

Các tập hợp con của \( C \) là:
- Tập rỗng: \( \emptyset \)
- Tập chứa 1 phần tử: \( \{1\}, \{2\}, \{5\} \)
- Tập chứa 2 phần tử: \( \{1, 2\}, \{1, 5\}, \{2, 5\} \)
- Tập chứa 3 phần tử: \( \{1, 2, 5\} \)

Tóm lại, tất cả các tập hợp con của \( C \) là:
\[
\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{5\}, \{1, 2\}, \{1, 5\}, \{2, 5\}, \{1, 2, 5\} \}
\]