Tính giá trị của biểu thức: \(T = x^{2022} - y^{2022} + (x - y)^{2022}\)

Để tính giá trị của biểu thức \( T = x^{2022} - y^{2022} + (x - y)^{2022} \), trước hết ta sử dụng điều kiện đã cho:

\[
x^2 + y^2 = -6(x + y + 3).
\]

Chúng ta có thể sắp xếp lại điều kiện này như sau:

\[
x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 = 0.
\]

Đặt \( s = x + y \) và \( p = xy \). Sử dụng công thức \( x^2 + y^2 = s^2 - 2p \), ta có:

\[
s^2 - 2p + 6s + 18 = 0.
\]

Từ đó, ta có thể thay thế \( p \) bằng \( p = \frac{s^2 + 6s + 18}{2} \).

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra các trường hợp cụ thể của \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, có một phép biến hình thú vị với biểu thức \( T \):

Sử dụng hằng đẳng thức:

\[
x^{2022} - y^{2022} = (x-y)(x^{2021} + x^{2020}y + \ldots + y^{2021}),
\]

do đó:

\[
T = (x-y)(x^{2021} + x^{2020}y + \ldots + y^{2021}) + (x-y)^{2022}.
\]

Ta có thể nhóm \( (x-y) \):

\[
T = (x - y) \left( x^{2021} + x^{2020}y + \ldots + y^{2021} + (x-y)^{2021} \right).
\]

Nếu \( x = y \), thì rõ ràng \( T = 0 \). Bây giờ, giả sử \( x \neq y \), thì trong trường hợp này tại điểm \( x + y + 3 = 0 \), ta có thể sử dụng điều kiện ban đầu để suy luận về giá trị của \( T \). Do \( x \) và \( y \) có thể dẫn đến một số nghiệm xấu do đặc tính hoàn thành bình phương của biểu thức (không cho ra số thực).

### Kết luận:
Giá trị cụ thể của \( T \) trong điều kiện \( T = 0 \) khi \( x = y \) có thể được kiểm chứng, và do đó, với các điều kiện đã cho, giá trị của \( T \) là:

\[
\boxed{0}.
\]