Chứng minh rằng bất đẳng thức sau xác định với mọi x; y

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b-1} \geq \frac{4}{a+b}
\]

với mọi \( a > -1 \) và \( b > 1 \), ta sẽ bắt đầu bằng cách áp dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

\[
\left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b-1} \right) \left( (a+1) + (b-1) \right) \geq (1+1)^2 = 4
\]

Ở đây, \( (a+1) + (b-1) = a + b \).

Vậy ta có:

\[
\left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b-1} \right)(a + b) \geq 4
\]

Chia cả hai vế cho \( a + b \) (lưu ý rằng \( a + b > 0 \) vì \( a > -1 \) và \( b > 1 \)):

\[
\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b-1} \geq \frac{4}{a+b}
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức đã đưa ra.

Tóm lại, bất đẳng thức

\[
\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b-1} \geq \frac{4}{a+b}
\]

được chứng minh đúng với mọi \( a > -1 \) và \( b > 1 \).