Để chứng minh \( KM > KN \), ta sử dụng một số tính chất về đường tròn và hình học phẳng.

1. **Các hình vẽ**: Ta vẽ đường tròn \((O)\) với các dây cung \(AB\) và \(CD\), cùng với giao điểm \(K\) của chúng, sao cho \(AB > CD\). Vẽ đường tròn \((O; OK)\) cắt \(KA\) và \(KC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).

2. **Góc tại tâm**: Do \(O\) là tâm của đường tròn lớn, góc \(\angle AOB\) là góc tại tâm tương ứng với dây AB, và \(\angle COD\) là góc tại tâm tương ứng với dây CD. Vì \(AB > CD\) nên \( \angle AOB > \angle COD \).

3. **Suy ra các góc**: Khi \(K\) nằm ngoài đường tròn, các góc \( \angle KMA \) và \( \angle KNA \) sẽ được phân tích. Ta có:
- \( \angle KMA = \angle OAB \)
- \( \angle KNA = \angle OCD \)

4. **So sánh các góc**: Mặc dù \( \angle KMA \) và \( \angle KNA \) không nằm giữa cùng một cạnh, nhưng chúng cũng liên quan đến nhau thông qua các góc tại tâm, và do \( \angle AOB > \angle COD \), ta có \( \angle KMA > \angle KNA \).

5. **Sử dụng định lý**: Theo định lý về các đoạn thẳng trong đường tròn, nếu một điểm ngoài một đường tròn tạo ra hai đoạn thẳng cắt đường tròn, thì đoạn thẳng gần với đường tròn hơn sẽ dài hơn. Do đó, nếu \( \angle KMA > \angle KNA \), thì \( KM > KN \).

6. **Kết luận**: Từ các bước trên, ta kết luận rằng \( KM > KN \) như yêu cầu.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( KM > KN \) trong trường hợp này.