Chứng minh hình MNPQ là hình bình hành. Bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm

Để chứng minh hình MNPQ là hình bình hành, ta sẽ sử dụng một số tính chất và định lý trong hình học. Dưới đây là các bước chứng minh cho phần a và b:

### a. Chứng minh hình MNPQ là hình bình hành

1. **Đầu vào**: Theo đề bài, AB, CD, AE và CF là các đường thẳng như trong hình bình hành ABCD. Tia phân giác góc ABD cắt AE và CF tại M và N.
2. **Tính chất của tia phân giác**: M và N sẽ chia các đoạn thẳng AE và CF theo tỷ lệ bằng nhau. Từ đó suy ra rằng:
- \( AM/ME = AN/ND \) (do tia phân giác).
3. **Tương tự**: Ta cũng có:
- Đường thẳng MP song song với AD và NQ song song với BC (bởi vì các đoạn trực tiếp cắt nhau tại M và N, và AB // CD).
4. **Hình bình hành**: Vì hai cặp cạnh đối diện (MP, NQ) song song và bằng nhau về kích thước, MNPQ là một hình bình hành.

### b. Chứng minh AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm

1. **Đồng quy tại một điểm**: Theo đề bài, các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại một điểm, gọi là O.
2. **Tính chất của hình bình hành**: Vì MNPQ là hình bình hành và các đoạn thẳng MP và NQ đều song song với các cạnh của hình bình hành (AD và BC), nên mọi đường thẳng từ O đến M và N sẽ tạo thành một tam giác đồng quy với mỗi cặp các đường thẳng song song tương ứng tại điểm O.
3. **Kết luận**: Do đó, bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại điểm O.

Từ những lý luận trên, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu a và b của đề bài.