Để chứng minh hình thang ABCD là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và cạnh trong hình thang.

### Chứng minh:

1. **Dữ kiện**: Ta có hình thang ABCD với \( AB \parallel CD \) và \( \angle C < \angle D \). Ngoài ra, ta có \( AD = BC \).

2. **Áp dụng tính chất của hình thang**:
- Do \( AB \parallel CD \), nên \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \) (tính chất của góc so le trong).
- Tương tự, ta có \( \angle ADC + \angle BCD = 180^\circ \).

3. **Thiết lập các tính chất của góc**:
- Gọi \( \angle DAB = \alpha \) và \( \angle ABC = 180^\circ - \alpha \).
- Gọi \( \angle ADC = \beta \) và \( \angle BCD = 180^\circ - \beta \).

4. **Sử dụng dữ kiện**:
- Vì \( AD = BC \) và \( ABCD \) là hình thang, áp dụng định lý sin cho tam giác ABD và tam giác BCA, ta sẽ nhận được tương quan giữa các góc.

5. **Chứng minh các cạnh**:
- Ta có \( \triangle ABD \) và \( \triangle BCA \) là hai tam giác có các cạnh tương ứng là \( AB, AD \) và \( AC, BC \).
- Từ \( AB \parallel CD \) và \( AD = BC \), theo định lý, ta suy ra \( AB = CD \).

6. **Kết luận**:
- Do \( AB \parallel CD \) và \( AD = BC \) \( \Rightarrow \) \( AB = CD \).
- Từ đó, ta có các cặp cạnh đối diện trong hình ABCD bằng nhau.

Vì vậy, hình thang ABCD là hình bình hành.