Thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là?

Để tính thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, chúng ta cần biết diện tích đáy và chiều cao.

1. **Tính diện tích đáy ABC**:
- Điểm A là đỉnh của tam giác vuông cân tại A. Giả sử \( AB = AC = x \) (x là cạnh của tam giác vuông cân).
- Theo đề bài, cạnh \( BC = \sqrt{2}x \).
- Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{x^2}{2}.
\]

Để tính \( x \), ta sử dụng định lý Pitago:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow (\sqrt{2} x)^2 = x^2 + x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2x^2.
\]
Vì vậy, ta thấy cạnh \( BC \) đúng như đề bài đã cho.

2. **Xác định chiều cao của lăng trụ**:
- Gọi chiều cao của khối lăng trụ là \( h \).
- Theo đề bài, A1C tạo với mặt đáy một góc 60 độ, nên chiều cao \( h \) có thể tính bằng công thức:
\[
h = AC \cdot \sin(60^\circ) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

3. **Tính thể tích V của khối lăng trụ**:
- Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức:
\[
V = S_{ đáy} \times h = S_{ABC} \times h.
\]
Thay các giá trị vào:
\[
V = \frac{x^2}{2} \times \left(x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{x^3 \sqrt{3}}{4}.
\]

4. **Mối liên hệ giữa \( x \) và \( BC \)**:
- Theo đề bài, \( BC = \sqrt{2}x \), mà cạnh này đã cho là \( BC = \sqrt{2} \). Do đó, ta có:
\[
\sqrt{2} x = \sqrt{2} \Rightarrow x = 1.
\]

5. **Tính thể tích cuối cùng**:
- Thay \( x = 1 \) vào công thức thể tích:
\[
V = \frac{1^3 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}.
\]

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) đơn vị thể tích.