Bài toán này yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn và các tiếp tuyến.

1. **Chứng minh OA ⊥ MN**:
- Để chứng minh OA ⊥ MN, ta sử dụng tính chất của đường tiếp tuyến với đường tròn. Điểm M và N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến AM và AN, do đó AM ⊥ OM và AN ⊥ ON, với O là tâm của đường tròn.
- Đường thẳng OA đi qua điểm A ngoài đường tròn và do đó là đường nối giữa O và A.
- Theo tính chất của tiếp tuyến, chúng ta có:
- ∠OAM = 90° và ∠OAN = 90°.
- Khi đó, OA là đường cao trong tam giác OMA và ONA. Suy ra, OA ⊥ MN.

2. **Vẽ đường kính NC**:
- Xét trung điểm N của MN, ta kẻ đường thẳng NC, trong đó C là một điểm trên đường thẳng AO sao cho MC // AO (tức là ngọn M liên tục trên đường thẳng AO).
- Do OA vuông góc với MN nên NC cũng là đường kính của đường tròn đi qua điểm O.

3. **Tính độ dài các cạnh của ΔAMN** biết OM = 3 cm, OA = 5 cm:
- Sử dụng định lý Pitago trong tam giác OAM:
\[
AM^2 = OA^2 - OM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AM = 4 \text{ cm}.
\]
- Tương tự, ta có AN = AM = 4 cm, do tính đối xứng của tiếp tuyến và cách lựa chọn tiếp điểm.
- Cuối cùng, chúng ta cần tính độ dài của cạnh MN:
\[
MN = AM + AN = 4 + 4 = 8 \text{ cm}.
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được OA ⊥ MN, vẽ được đường kính NC, và tính được độ dài các cạnh của tam giác ΔAMN với kết quả là:
- \(AM = AN = 4 \, \text{cm}\),
- \(MN = 8 \, \text{cm}\).