Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMB\):**

- Ta có \( AB = AB \) (cạnh chung).
- Góc tại \( M \) được xác định, do \( DM \perp BC \), do đó \(\angle DMB = \angle AMB = 90^\circ\).
- Ta cần chứng minh \( AD = DB \) (bởi vì BD là đường phân giác của góc ABC).

Suy ra từ các yếu tố trên, chúng ta có:
\[
\Delta AMB \cong \Delta DMB \quad (\text{theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh})
\]

**b) Chứng minh \( AD < DC \):**

- Theo tính chất của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC}
\]
- Vì \( AB < AC \) (theo giả thiết), nên:
\[
\frac{AD}{DC} < 1
\]
- Điều này cho thấy \( AD < DC \).

**c) Chứng minh ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy:**

- Gọi \( K \) là trung điểm của \( ME \) nên có:
\[
AK = AE
\]
- Đường thẳng \( EI \) là đường vuông góc với \( AM \) tại \( E \).
- Ta cần chứng minh ba đường thẳng \( AK, EI, MD \) đồng quy tại một điểm.

Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, chúng ta có thể sử dụng yếu tố hình học:
- Xét các tam giác \(\Delta AME\) và \(\Delta DMB\).
- Do \( AD = DB \) và từ \(\Delta AMB \cong \Delta DMB\), các đỉnh của tam giác có tính chất đồng quy, qua đó ta sẽ tìm được điểm đồng quy.

Bằng cách sử dụng định lý về đồng quy của ba đường thẳng từ các điểm cố định trong tam giác và áp dụng tính chất vuông góc, đường phân giác, ta sẽ đi đến kết luận rằng ba đường thẳng \( AK, EI, MD \) là đồng quy.

Tóm lại:

1. Đã chứng minh được \(\Delta AMB \cong \Delta DMB\).
2. Đã chứng minh được \( AD < DC \).
3. Xác lập được rằng ba đường thẳng \( AK, EI, MD \) đồng quy.

Như vậy, mọi yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.