Để chứng minh rằng sáu điểm \( E, F, G, H, B, D \) cùng nằm trên một đường tròn, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tính tọa độ các điểm**: Giả sử hình thoi \( ABCD \) có các tọa độ:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a \cos 60°, a \sin 60°) \)
- \( C(a \cos 60° + b, a \sin 60° - b \sqrt{3}) \)
- \( D(b, -b \sqrt{3}) \)

Ở đây, \( a \) là độ dài cạnh \( AB \) và \( b \) là độ dài cạnh \( AD \).

2. **Tính trung điểm**:
- Trung điểm \( E \) giữa \( A \) và \( B \): \( E\left(\frac{a \cos 60°}{2}, \frac{a \sin 60°}{2}\right) \)
- Trung điểm \( F \) giữa \( B \) và \( C \)
- Trung điểm \( G \) giữa \( C \) và \( D \)
- Trung điểm \( H \) giữa \( D \) và \( A \)

3. **Lập phương trình đường tròn**: Điểm \( B \) và \( D \) có thể sử dụng để xác định đường tròn. Tính khoảng cách giữa \( B \) và \( D \) để tìm tâm và bán kính.

4. **Kiểm tra đồng dạng**: Ta có thể dùng tính chất hình học: Nếu \( \angle A = 60° \) thì các trung điểm \( E, F, G, H \) sẽ tạo thành một hình thoi hoặc hình dạng nào đó với các cạnh đều.

5. **Chứng minh bằng tính chất**: Sử dụng tính chất của hình thoi và các điểm trung gian, cho thấy rằng các điểm này đều cách đều (hình tròn) so với trung điểm của \( BD \).

Cuối cùng, theo tính chất của hình thoi với góc \( 60° \), các đường cao và các đoạn nối sẽ tạo nên mối quan hệ hình học hợp lý để khẳng định rằng sáu điểm này cùng nằm trên một đường tròn.