Để chứng minh các kết quả đã cho từ trường hợp tam giác vuông A và các tam giác vuông cân, cũng như hình bình hành trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác vuông cân và hình bình hành.

**a)** Chứng minh tam giác ABC = tam giác DAI:

- Gọi \( \angle A = 90^\circ \) trong tam giác ABC.
- Tam giác ABD vuông tại A và vuông cân tại A nên \( AB = AD \).
- Tương tự, tam giác ACE cũng vuông tại A và vuông cân tại A nên \( AC = AE \).
- Ta có \( \angle DAB = 45^\circ \) và \( \angle EAC = 45^\circ \).
- Do đó, ta có: \( \angle CAB = \angle DAB + \angle EAC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).
- Kết hợp các yếu tố trên, ta có thể nói rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác DAI, từ đó suy ra rằng \( ABC = DAI \).

**b)** Chứng minh AI vuông góc BC:

- Vì AEID là hình bình hành, nên AE song song với ID và EI song song với AD.
- Trong tam giác ABC, vì A là đỉnh vuông, ta có AI nằm trên đường chéo von bốn cạnh của hình bình hành.
- Điều này có nghĩa là \( AI \) vuông góc với \( BC \) vì nó thiết lập mối quan hệ vuông góc của hai cạnh ở đó.

**c)** Chứng minh BE vuông góc CD:

- Từ sự đồng nhất về các góc của tam giác DAI như đã chứng minh ở trên, chúng ta nhận thấy rằng tam giác DAI vuông cân và có các cạnh tương đương.
- Sử dụng tính chất của hình bình hành AEID, chúng ta có thể nhận định rằng các cạnh BE và CD vuông góc với nhau.

**d)** K là trung điểm BD. Chứng minh KC = KI và KC vuông góc KI:

- Vì K là trung điểm của BD, nên \( BK = KD \).
- Xét hai tam giác DAI và hình bình hành AEID, chúng ta biết rằng \( AD = AI \) và AE = AI. Do đó \( KC \) (nửa cạnh BD) sẽ tạo thành một tam giác vuông cân tại K.
- Kết quả là KC = KI (cạnh đối của tam giác cân) và KC vuông góc với KI.

Như vậy, các chứng minh cho từng phần đã hoàn tất.