Tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm đã cho, ta sẽ sử dụng quy tắc tìm cực trị cho các đa thức bậc hai và hàm số hai biến. Dưới đây là cách xác định giá trị nhỏ nhất cho từng hàm:

### A(x) = \( x^2 - 4x + 7 \)
Cực trị xuất hiện tại \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \). Giá trị tại điểm này là:
\[ A(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 \]
**Giá trị nhỏ nhất là 3.**

### B(x) = \( 4x^2 - 6x + 1 \)
Cực trị tại \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \). Giá trị tại điểm này là:
\[ B\left(\frac{3}{4}\right) = 4\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = 4 \cdot \frac{9}{16} - \frac{18}{4} + 1 = \frac{36}{16} - \frac{72}{16} + \frac{16}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4} \]
**Giá trị nhỏ nhất là -1.25.**

### C(x) = \( 16x^2 - 12x \)
Cực trị tại \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 16} = \frac{3}{8} \). Giá trị tại điểm này là:
\[ C\left(\frac{3}{8}\right) = 16\left(\frac{3}{8}\right)^2 - 12\left(\frac{3}{8}\right) = 16 \cdot \frac{9}{64} - \frac{36}{8} = \frac{144}{64} - \frac{288}{64} = -\frac{144}{64} = -\frac{9}{4} \]
**Giá trị nhỏ nhất là -2.25.**

### D(x) = \( 3x^2 - 9x + 4 \)
Cực trị tại \( x = \frac{9}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} \). Giá trị tại điểm này là:
\[ D\left(\frac{3}{2}\right) = 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 9\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = \frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 4 = \frac{27}{4} - \frac{54}{4} + \frac{16}{4} = -\frac{11}{4} \]
**Giá trị nhỏ nhất là -2.75.**

### E(x, y) = \( x^2 + y^2 + 4x - 6y + 15 \)
Cực trị xảy ra khi đưa về dạng đầy đủ. Ta sẽ tìm điểm cực trị:
- \( x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \)
- \( y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \)
Từ đó:
\[ E(x, y) = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + 15 - 4 - 9 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \]
**Giá trị nhỏ nhất là 2.**

### F(x, y) = \( x^2 + 4y^2 - 8x - 8y + 11 \)
Tương tự như trên, ta luôn đưa về dạng hoàn chỉnh:
\[ F(x, y) = (x - 4)^2 + 4\left(y - 1\right)^2 + 11 - 16 - 4 = (x - 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 9 \]
**Giá trị nhỏ nhất là -9.**

### G(x, y) = \( x^2 + 4y^2 - 2xy - 6y + 19 \)
Dùng quy tắc hình chóp hoặc điểm cực trị, bậc hai trong hai biến:
- Tính toán hệ số trong ma trận và tìm giá trị nhỏ nhất, kết quả sẽ là:
\[ G(x, y) \text{ không có cực trị tương tự như trên nên cần xác định.} \]
Giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 19 tùy vào tương quan giữa x và y.

Kết luận, tổng hợp các giá trị nhỏ nhất:
- A: 3
- B: -1.25
- C: -2.25
- D: -2.75
- E: 2
- F: -9
- G: Không xác định chính xác trên (cần thêm thông tin).