Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

### a) Chứng minh \( BK \perp AB \) và \( CK \perp AC \)

1. **Gọi** \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BE \) và \( CF \). Theo tính chất hình học, các đường cao \( BE \) và \( CF \) vuông góc với các cạnh tương ứng \( AC \) và \( AB \), ta có:
- \( BE \perp AC \)
- \( CF \perp AB \)

2. **Xét điểm M** là trung điểm của BC, ta có:
- \( MH \perp BE \)
- \( MH \perp CF \)

3. **Gọi** \( K \) là điểm trên tia đối của tia \( MH \) sao cho \( MH = MK \). Như vậy, \( K \) nằm ở vị trí đối xứng với \( H \) qua điểm \( M \).

4. Sử dụng tính chất của góc vuông và đối xứng, ta có:
- Vì \( MH \perp BE \), nên \( MK \perp BE \).
- Từ đó, suy ra \( BK \perp AB \).
- Tương tự, do \( MH \perp CF \), nên \( MK \perp CF \), kết luận \( CK \perp AC \).

### b) Chứng minh \( AMEF \) là tam giác cân

1. Vì \( BE \) và \( CF \) là các đường cao trong tam giác nhọn \( ABC \):
- \( E \) là chân đường cao từ \( B \) trên \( AC \).
- \( F \) là chân đường cao từ \( C \) trên \( AB \).

2. Từ tính chất của tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \):
- Ta có \( \angle ABE = \angle ACF \).
- Do tính chất các đường cao và tính đối xứng của điểm \( K \), ta có:
- \( AE = AF \) (do tam giác nhọn và đối xứng qua M).

3. Kết luận, tam giác \( AMEF \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AE = AF \).

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, chúng ta có \( BHCK \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện vuông góc, và \( AMEF \) là tam giác cân.