Để giải phương trình \( 2|x - 1| = |x + 1| \), chúng ta sẽ phân tích thành từng trường hợp dựa vào các dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xét các trường hợp

1. **Trường hợp 1: \( x - 1 \geq 0 \) và \( x + 1 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 1 \))**
- Khi đó \( |x - 1| = x - 1 \) và \( |x + 1| = x + 1 \).
- Phương trình trở thành:
\[
2(x - 1) = x + 1
\]
Giải phương trình:
\[
2x - 2 = x + 1 \\
2x - x = 1 + 2 \\
x = 3
\]
- Kiểm tra điều kiện: \( 3 \geq 1 \) (đúng).

2. **Trường hợp 2: \( x - 1 \geq 0 \) và \( x + 1 < 0 \) (Điều này không thể xảy ra vì nếu \( x - 1 \geq 0 \) thì \( x < 1 \) sẽ gây mâu thuẫn.)**

3. **Trường hợp 3: \( x - 1 < 0 \) và \( x + 1 \geq 0 \) (tức là \( -1 \leq x < 1 \))**
- Khi đó \( |x - 1| = 1 - x \) và \( |x + 1| = x + 1 \).
- Phương trình trở thành:
\[
2(1 - x) = x + 1
\]
Giải phương trình:
\[
2 - 2x = x + 1 \\
2 - 1 = x + 2x \\
1 = 3x \\
x = \frac{1}{3}
\]
- Kiểm tra điều kiện: \( -1 \leq \frac{1}{3} < 1 \) (đúng).

4. **Trường hợp 4: \( x - 1 < 0 \) và \( x + 1 < 0 \) (tức là \( x < -1 \))**
- Khi đó \( |x - 1| = 1 - x \) và \( |x + 1| = - (x + 1) = -x - 1 \).
- Phương trình trở thành:
\[
2(1 - x) = -x - 1
\]
Giải phương trình:
\[
2 - 2x = -x - 1 \\
2 + 1 = -x + 2x \\
3 = x \\
\]
- Kiểm tra điều kiện: \( 3 < -1 \) (sai).

### Kết luận
Hai giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là:
\[
x = 3 \quad \text{và} \quad x = \frac{1}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = 3 \).