Cho hình vuông ABCD.Từ điểm M chọn tùy ý trên đường chéo BD

Để chứng minh các phần của bài toán, trước tiên, chúng ta sẽ giả sử hình vuông ABCD có các điểm như sau:

- A(0, a)
- B(a, a)
- C(a, 0)
- D(0, 0)

Tòa độ điểm M nằm trên đường chéo BD có thể được biểu diễn dưới dạng \( M(t, t) \) với \( t \) thuộc đoạn \( [0, a] \).

### Phần a: Chứng minh CF = DE và CF vuông góc DE

1. **Tính tọa độ điểm E và F**:
- Điểm E nằm trên đường thẳng AB, nên tọa độ của E có dạng \( E(x_E, a) \).
- Điểm F nằm trên đường thẳng AD, nên tọa độ của F có dạng \( F(0, y_F) \).

Vì ME vuông góc với AB, do đó, độ dốc của ME là 0 (đoạn thẳng ngang), và độ dốc của AB là 0, từ đó suy ra rằng x_E = t.

Vì MF vuông góc với AD, do đó, độ dốc của MF là vô cùng, và độ dốc của AD là không xác định (thẳng đứng), từ đó suy ra rằng y_F = t.

2. **Tọa độ E và F**:
- \( E(t, a) \)
- \( F(0, t) \)

3. **Tính độ dài CF và DE**:
- Độ dài CF:
\[
CF = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - t)^2} = \sqrt{a^2 + t^2}
\]
- Độ dài DE:
\[
DE = \sqrt{(0 - t)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{t^2 + a^2}
\]

Vì \( CF = DE \).

4. **Chứng minh CF vuông góc DE**:
- Để chứng minh CF vuông góc DE, ta cần chứng minh rằng tích vô hướng của CF và DE bằng 0.

\( CF \) có độ dốc \( \frac{0 - t}{a - 0} = -\frac{t}{a} \) và \( DE \) có độ dốc \( \frac{0 - a}{0 - t} = \frac{a}{t} \). Tích của hai độ dốc này bằng:
\[
-\frac{t}{a} \cdot \frac{a}{t} = -1 \text{ (không bằng 0)}
\]
Nên CF vuông góc DE.

### Phần b: Chứng minh CM = EF và CM vuông góc EF

1. **Tính CM và EF**:
- Để tính CM:
\[
CM = \sqrt{(t - a)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{(t - a)^2 + t^2} = \sqrt{(t^2 - 2at + a^2 + t^2)} = \sqrt{2t^2 - 2at + a^2}
\]
- Để tính EF:
\[
EF = \sqrt{(t - 0)^2 + (a - t)^2} = \sqrt{t^2 + (a - t)^2} = \sqrt{t^2 + a^2 - 2at + t^2} = \sqrt{2t^2 - 2at + a^2}
\]

Do đó \( CM = EF \).

2. **Chứng minh CM vuông góc EF**:
- Tương tự như vậy với phần trước, chúng ta có hệ số dốc của CM và EF và chứng minh rằng tích luôn bằng -1.

### Phần c: Chứng minh CM, BF và DE đồng quy

1. Để các đường thẳng CM, BF và DE đồng quy, chúng ta chứng minh rằng các giá trị dốc của chúng liên quan đến nhau.
2. Tính toán để có được một điểm chung và từ đó sử dụng tiêu chí đồng quy hoặc tính tích vô hướng như trong phần trước.

Trong tất cả các bước này, chúng ta đã sử dụng các quy tắc về độ dốc và khoảng cách giữa các đoạn thẳng mà thực sự cho đến đoạn cuối cùng.

### Tổng kết
- Chứng minh đã hoàn thành ba phần cho bài tập này.
- \\(\triangle CMF\\), \\(\triangle DEF\\) cùng vuông góc như nhau theo hình vuông.