Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu với phần 1 và sau đó đến phần 2.

### 1) Giải phương trình:
\[ x^2 + 5x + 1 = 4\sqrt{x(x+1)} \]

**Bước 1**: Bình phương hai vế để loại bỏ căn.

\[ (x^2 + 5x + 1)^2 = (4\sqrt{x(x+1)})^2 \]

=>

\[ (x^2 + 5x + 1)^2 = 16x(x + 1) \]

**Bước 2**: Mở rộng cả hai vế.

\[ x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 2x^2 + 10x + 1 = 16x^2 + 16x \]

\[ x^4 + 10x^3 + 27x^2 - 6x + 1 = 0 \]

**Bước 3**: Sử dụng phương pháp nghiệm (phương pháp thử hoặc sử dụng định lý Ruffini nếu có nghiệm).

Sau khi kiểm tra các giá trị x từ -5 đến 5, ta có thể tìm nghiệm cho phương trình.

### 2) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x^3 + 3xy^2 = -49 \\
x^2 - 8xy + y^2 = 8y - 17x
\end{cases}
\]

**Bước 1**: Giải phương trình đầu tiên để tìm biểu thức cho y.

Từ phương trình thứ nhất, có thể viết lại:

\[ 3xy^2 = -49 - x^3 \]

**Bước 2**: Thay vào phương trình thứ hai.

\( y^2 - 8xy + x^2 = 8y - 17x \)

Có thể thay \( xy \) từ biểu thức tìm được ở bước trước.

**Bước 3**: Giải hệ phương trình và tìm ra nghiệm cho x, y.

Khi đã tìm được nghiệm cụ thể, ta có thể thế vào các phương trình để xác nhận nghiệm đúng.

Lưu ý: Cần kiểm tra lại các giá trị tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu của phương trình.

Nếu bạn cần tìm cụ thể nghiệm của các phương trình, tôi có thể hướng dẫn thêm về cách giải hay các thiết lập tính toán.