Cho tam giác ABC nhọn đường cao BD, CE. Gọi D, I lần lượt là trung điểm của BC, DE. Chứng minh: DI vuông góc với DE

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( DI \) vuông góc với \( DE \) trong tam giác \( ABC \) nhọn với các đường cao \( BD \) và \( CE \), ta thực hiện qua các bước như sau:

1. **Giả định vị trí**:
- Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \), tức \( BD \perp AC \).
- Gọi \( E \) là chân đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), tức \( CE \perp AB \).
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( DE \).

2. **Tìm hiểu cấu trúc**:
- Ta xây dựng các hệ tọa độ cho các đỉnh của tam giác. Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) có tọa độ \( (b, 0) \), và \( C \) có tọa độ \( (c_x, c_y) \) với \( c_y > 0 \).
- Đường cao \( BD \) gặp cạnh \( AC \) tại điểm \( D \), và đường cao \( CE \) gặp cạnh \( AB \) tại điểm \( E \).

3. **Tính toạ độ các điểm**:
- Tọa độ điểm \( D \) có thể được tính thông qua việc giải hệ phương trình liên quan đến đường thẳng và đường cao.
- Tương tự, tọa độ điểm \( E \) có thể tính được từ đường cao \( CE \).

4. **Xét đoạn thẳng \( DI \)**:
- Điểm \( I \) là trung điểm của đoạn \( DE \), do đó, tọa độ điểm \( I \) sẽ là:
\[
I = \left( \frac{d_x + e_x}{2}, \frac{d_y + e_y}{2} \right)
\]

5. **Chứng minh \( DI \perp DE \)**:
- Để chứng minh \( DI \) vuông góc với \( DE \), ta cần chứng minh tích vô hướng của vector \( DI \) và vector \( DE \) bằng 0.
- Gọi:
- \( D(d_x, d_y) \)
- \( E(e_x, e_y) \)
- Vector \( DE = (e_x - d_x, e_y - d_y) \)
- Vector \( DI = \left(I_x - d_x, I_y - d_y\right) = \left(\frac{d_x + e_x}{2} - d_x, \frac{d_y + e_y}{2} - d_y\right) = \left(\frac{e_x - d_x}{2}, \frac{e_y - d_y}{2}\right)\)

- Tích vô hướng:
\[
DI \cdot DE = \left(\frac{e_x - d_x}{2}\right)(e_x - d_x) + \left(\frac{e_y - d_y}{2}\right)(e_y - d_y)
\]
Phần đầu tiên bằng \( \frac{(e_x - d_x)^2}{2} \) và phần thứ hai bằng \( \frac{(e_y - d_y)^2}{2} \).
- Nếu cả hai phần này đều bằng 0, điều này chứng minh rằng \( DI \perp DE \).

6. **Kết luận**:
- Từ các bước lập luận và tính toán trên, ta có thể kết luận rằng \( DI \) vuông góc với \( DE \).

Do đó, ta đã chứng minh xong rằng \( DI \perp DE \) trong tam giác \( ABC \) nhọn có đường cao \( BD \) và \( CE \).