Để tính giá trị nhỏ nhất (gtnn) và giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức \( A = x^2 + y^2 \) với điều kiện \( x + y = 1 \) và \( x, y \geq 0 \), ta có thể sử dụng một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và đại số.

1. **Thay thế biến**:
Bởi vì \( y = 1 - x \), ta có thể viết lại \( A \):
\[
A = x^2 + (1 - x)^2
\]

2. **Mở rộng và đơn giản hóa**:
\[
A = x^2 + (1 - 2x + x^2) = 2x^2 - 2x + 1
\]

3. **Tìm giá trị cực trị**:
Để tìm cực trị của hàm số \( A \), ta có thể tính đạo hàm và đặt bằng 0:
\[
\frac{dA}{dx} = 4x - 2
\]
Đặt \(\frac{dA}{dx} = 0\):
\[
4x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]

4. **Tính \( y \)**:
Khi \( x = \frac{1}{2} \):
\[
y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

5. **Tính giá trị \( A \)**:
\[
A = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]

6. **Kiểm tra các biên**:
- Khi \( x = 0 \), \( y = 1 \):
\[
A = 0^2 + 1^2 = 1
\]
- Khi \( x = 1 \), \( y = 0 \):
\[
A = 1^2 + 0^2 = 1
\]

7. **Kết luận**:
Từ các tính toán trên, ta có:
- Giá trị nhỏ nhất \( \text{gtnn} = \frac{1}{2} \) tại \( (x, y) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
- Giá trị lớn nhất \( \text{gtln} = 1 \) tại \( (x, y) = (0, 1) \) hoặc \( (1, 0) \)

Vậy:
- Gtnn của \( A \) là \( \frac{1}{2} \)
- Gtln của \( A \) là \( 1 \)