Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi năng suất làm việc của người thứ nhất là \( a \) (công việc hoàn thành trong 1 giờ) và năng suất làm việc của người thứ hai là \( b \) (công việc hoàn thành trong 1 giờ).

**Bước 1: Thiết lập phương trình từ dữ kiện bài toán.**

Theo đề bài, hai người làm chung công việc thì sau 6 giờ xong hoàn toàn công việc, nên ta có phương trình:
\[
6a + 6b = 1 \quad \text{(1)}
\]
Có nghĩa là trong 6 giờ, cả hai người hoàn thành 1 công việc.

Nếu người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ, thì công việc hoàn thành được là:
\[
2a
\]
Tiếp theo, người thứ hai làm một mình trong 3 giờ, công việc hoàn thành được là:
\[
3b
\]
Theo đề bài, tổng công việc hoàn thành của cả hai người trong thời gian đó là:
\[
2a + 3b = \frac{2}{5} \quad \text{(2)}
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình (1) và (2).**

Từ phương trình (1), ta có:
\[
6(a + b) = 1
\]
=>
\[
a + b = \frac{1}{6} \quad \text{(3)}
\]

Bây giờ ta sẽ thay \( b \) từ (3) vào (2):
\[
b = \frac{1}{6} - a
\]
Thay vào phương trình (2):
\[
2a + 3\left(\frac{1}{6} - a\right) = \frac{2}{5}
\]
Giải phương trình trên:
\[
2a + \frac{3}{6} - 3a = \frac{2}{5}
\]
Tương đương với:
\[
- a + \frac{1}{2} = \frac{2}{5}
\]
Chuyển vế và quy đồng mẫu số:
\[
\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = a
\]
\[
\frac{5}{10} - \frac{4}{10} = a
\]
=>
\[
a = \frac{1}{10}
\]

Thay \( a \) vào phương trình (3) để tìm \( b \):
\[
a + b = \frac{1}{6}
\]
\[
\frac{1}{10} + b = \frac{1}{6}
\]
=>
\[
b = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
b = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
\]

**Bước 3: Tính thời gian hoàn thành công việc của mỗi người.**

- Thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất:
\[
\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ giờ}
\]

- Thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai:
\[
\frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15 \text{ giờ}
\]

**Kết luận:**
- Người thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 10 giờ.
- Người thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 15 giờ.