Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH; AB = 21dm; BC = 35dm. Vẽ phân giác BE của tam giác ABC cắt AH tại M (E thuộc AC)

Đứng trước bài toán, ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB = 21 dm và BC = 35 dm. Đầu tiên, ta cần tính độ dài AC để có thể làm các phần sau.

### Tính độ dài AC
Theo định lý Pythagore, ta có:

\[ AC^2 = BC^2 - AB^2 \]

Tính cụ thể:

\[
AC^2 = 35^2 - 21^2 = 1225 - 441 = 784
\]

Do đó:

\[
AC = \sqrt{784} = 28 \, dm
\]

### a) Chứng minh AE.MA = EC.MH

Ta có điểm M là giao điểm của phân giác BE với đường cao AH. Theo định lý phân giác, tỉ số chiều dài hai đoạn thẳng AE và EC được cho bởi:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}
\]

Vì M nằm trên AH, nên theo định nghĩa tỉ số phân giác, ta có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AM}{MH}
\]

Từ đó, ta có thể rút ra rằng:

\[
AE \cdot MH = EC \cdot AM
\]

Mà AE.MA = EC.MH được chứng minh tương đương với AE / EC = AM / MH, dẫn đến chứng minh:

\[
AE \cdot MA = EC \cdot MH
\]

### b) Chứng minh AM.AB = MH.BC

Câu này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý tương ứng trong tam giác.

Ta đã biết rằng:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EC}
\]

Rồi, áp dụng định lý tỉ lệ cho các đoạn thẳng:

\[
\frac{AM}{MH} = \frac{AB}{BC} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}
\]

Từ đó có:

\[
AM \cdot BC = MH \cdot AB
\]

Do đó:

\[
AM \cdot AB = MH \cdot BC
\]

### c) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH

Diện tích của tam giác ABH và ACH có thể tính từ công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao}
\]

- Diện tích của tam giác ABH (đáy AB và chiều cao AH):

\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

- Diện tích của tam giác ACH (đáy AC và chiều cao AH):

\[
S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH
\]

Vì AH là chung, nên tỉ số diện tích sẽ là tỉ số giữa các đáy:

\[
\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{AB}{AC} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}
\]

### Kết luận
- a) AE.MA = EC.MH đã được chứng minh.
- b) AM.AB = MH.BC đã được chứng minh.
- c) Tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH là \(\frac{3}{4}\).