Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y đồng biến trên (0;+∞)

Để tìm số nguyên âm \( m \) mà hàm số \( y \) đồng biến trên \( (0; +\infty) \), ta cần xét hàm số:

\[
y = m x^3 + \frac{3}{2} x^2 + 3 x + 1
\]

Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu như đạo hàm của nó không âm trên khoảng đó. Ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y \):

\[
y' = \frac{d}{dx}\left( m x^3 + \frac{3}{2} x^2 + 3 x + 1 \right)
\]

Tính đạo hàm:

\[
y' = 3m x^2 + 3 x + 3
\]

Hàm \( y' \) sẽ đồng biến trên \( (0; +\infty) \) nếu \( y' \geq 0 \) trên khoảng đó, tức là:

\[
3m x^2 + 3x + 3 \geq 0
\]

Chia cả hai vế cho 3 (điều này không ảnh hưởng đến dấu):

\[
m x^2 + x + 1 \geq 0
\]

Bây giờ, để bất phương trình này luôn không âm trên \( (0; +\infty) \), ta xét biểu thức bậc hai:

\( m x^2 + x + 1 \)

Để hàm bậc hai này không âm trên \( (0; +\infty) \), điều kiện cần thiết là:

1. Định hệ số \( m \) phải sao cho \( m \geq 0 \) (để không đổi dấu với \( x^2 \)).
2. Để hàm không có nghiệm thực (không cắt trục hoành), thì delta của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4m \cdot 1
\]
\[
= 1 - 4m \leq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
1 \leq 4m \implies m \geq \frac{1}{4}
\]

Tuy nhiên, chúng ta cần \( m \) là số nguyên âm. Vì vậy, không có giá trị nào cho \( m \) thỏa mãn.

Vì vậy, không có số nguyên âm nào thoả mãn điều kiện trên. Do đó:

**Số nguyên âm \( m \) để hàm số \( y \) đồng biến trên \( (0; +\infty) \) là 0.**