Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các ẩn phụ để đại diện cho công suất làm việc của từng người.

Gọi:
- \( A \): thời gian mà người thứ nhất (A) làm riêng để hoàn thành công việc (giờ).
- \( B \): thời gian mà người thứ hai (B) làm riêng để hoàn thành công việc (giờ).

Từ thông tin bài toán, ta có thể tìm ra được công suất làm việc của từng người như sau:
- Công suất của A là \( \frac{1}{A} \) (công việc/giờ).
- Công suất của B là \( \frac{1}{B} \) (công việc/giờ).

1. **Giai đoạn 1: Cùng nhau làm việc**
- Nếu A và B cùng làm việc thì họ sẽ hoàn thành công việc trong 6 giờ 40 phút, tức là \( 6 + \frac{40}{60} = \frac{20}{3} \) giờ.
- Công suất làm việc cùng nhau là:
\[
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{3}{20}
\]
(vì 1 công việc hoàn thành trong thời gian là \( \frac{20}{3} \) giờ, ta lấy ngược lại để được công suất)

2. **Giai đoạn 2: A làm trong 5 giờ, sau đó B làm tiếp**
- A làm việc trong 5 giờ nên:
\[
\text{ Công việc A đã làm} = 5 \times \frac{1}{A} = \frac{5}{A}
\]
- Sau đó, B làm trong 8 giờ, công việc của B là:
\[
\text{ Công việc B đã làm} = 8 \times \frac{1}{B} = \frac{8}{B}
\]
- Tổng công việc hoàn thành vẫn là 1:
\[
\frac{5}{A} + \frac{8}{B} = 1
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình như sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{3}{20} \quad (1) \\
\frac{5}{A} + \frac{8}{B} = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có thể tìm \( \frac{1}{B} \):

\[
\frac{1}{B} = \frac{3}{20} - \frac{1}{A} \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):

\[
\frac{5}{A} + 8\left( \frac{3}{20} - \frac{1}{A} \right) = 1
\]

Giải phương trình trên:

\[
\frac{5}{A} + \frac{24}{20} - 8 \cdot \frac{1}{A} = 1
\]

\[
-\frac{3}{A} + \frac{24}{20} = 1
\]

Chuyển hết về 1 vế:

\[
-\frac{3}{A} = 1 - \frac{24}{20}
\]

\[
-\frac{3}{A} = 1 - 1.2 = -0.2
\]

Nhân cả hai vế với -1:

\[
\frac{3}{A} = 0.2
\]

Tìm A:

\[
A = \frac{3}{0.2} = 15 \text{ giờ}
\]

Thay \( A = 15 \) vào (1) để tìm B:

\[
\frac{1}{15} + \frac{1}{B} = \frac{3}{20}
\]

Tính \( \frac{1}{B} \):

\[
\frac{1}{B} = \frac{3}{20} - \frac{1}{15}
\]

Tìm mẫu chung:

\[
\frac{3}{20} - \frac{1}{15} = \frac{9}{60} - \frac{4}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
\]

Kết luận:

\[
B = 12 \text{ giờ}
\]

Như vậy, thời gian mà mỗi người phải mất để hoàn thành công việc là:
- Người thứ nhất (A): 15 giờ
- Người thứ hai (B): 12 giờ