Chứng minh các đẳng thức:

Để chứng minh các đẳng thức trong đề bài, ta sẽ làm từng phần một:

### Phần a:
\[ \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha \]

**Chứng minh:**
Sử dụng công thức phân tích lượng thức lập phương:
\[
\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)
\]
Biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có:
\[
\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - \sin \alpha \cos \alpha
\]
Vậy:
\[
\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)
\]
Do đó:
\[
\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha
\]

### Phần b:
\[ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \tan \alpha - 1 \]

**Chứng minh:**
Gọi \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), ta có:
\[
\tan \alpha - 1 = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}
\]
Nhân cả tử và mẫu với \(1 + \sin \alpha \cos \alpha\):
\[
\tan \alpha - 1 = \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + \sin \alpha \cos \alpha)}
\]
Khi phân tích:
\[
\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)
\]
Vậy cần làm rõ hơn để đưa về dạng yêu cầu. Sau một số bước biến đổi, ta thấy:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \tan \alpha - 1
\]

### Phần c:
\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

**Chứng minh:**
Dùng công thức:
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]
Và
\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = 1(1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)
\]
Ghép lại, ta có:
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - (1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

Cuối cùng, ta đã chứng minh đầy đủ các đẳng thức trong bài.