Để tìm ra số chi tiết máy mà mỗi tổ sản xuất được trong tháng đầu, ta tham khảo thông tin đã cho:

1. Gọi số chi tiết máy mà tổ I sản xuất trong tháng đầu là \( x \).
2. Gọi số chi tiết máy mà tổ II sản xuất trong tháng đầu là \( y \).

Theo đề bài, ta có:

\[
x + y = 300 \quad (1)
\]

Trong tháng thứ hai, tổ I vượt mức 25%, nghĩa là sản xuất được \( 1.25x \). Tổ II vượt mức 20%, nghĩa là sản xuất được \( 1.2y \).

Cuối tháng, tổng sản phẩm của hai tổ là:

\[
1.25x + 1.2y = 370 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (1) ta có:

\[
y = 300 - x
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình (2):

\[
1.25x + 1.2(300 - x) = 370
\]

Giải phương trình:

\[
1.25x + 360 - 1.2x = 370
\]
\[
0.05x + 360 = 370
\]
\[
0.05x = 10
\]
\[
x = 200
\]

Sử dụng giá trị của \( x \) vào phương trình (1):

\[
y = 300 - 200 = 100
\]

Vậy trong tháng đầu, tổ I sản xuất 200 chi tiết máy và tổ II sản xuất 100 chi tiết máy.