Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( AH = EF \)

1. **Xét tam giác vuông \( AHB \)**:
- Ta có \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \), do đó \( H \) là điểm chân đường cao từ \( H \) xuống \( AB \) và từ \( H \) xuống \( AC \).

2. **Có \( EH \parallel AC \)**:
- Vì \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \), \( HE \) sẽ song song với \( AC \).

3. **Áp dụng định lý Pitago** trong tam giác vuông \( AHB \):
- \( AH = EF \) do hai tam giác vuông \( AHF \) và \( EHF \) đồng dạng (có góc vuông và chung một góc \( H \)).

### b) Tứ giác \( EHKF \) là hình gì?

- **Xét tứ giác \( EHKF \)**:
- \( EH \parallel FK \) (do tương tự nhau từ định lý chân đường cao ở trên).
- Do đó, \( EHKF \) là một hình **parallelogram** (hình bình hành) vì hai cặp cạnh đối diện song song.

### Kết luận:
- Hình tứ giác \( EHKF \) là một hình bình hành.